Question

設(shè)x₁，x₂是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且|x₁-x₂|=2．
（Ⅰ）證明：0＜a≤1；
（Ⅱ）證明：．

Answer 1

【答案】分析：（I）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=ax²+bx-a²，由題意可得x₁，x₂是方程的兩根，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂，x₁•x₂，而，代入可求
（II）由（I）可得b²=4a²-4a³，構(gòu)造函數(shù)g（a）=4a²-4a³，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求函數(shù)g（a）的單調(diào)區(qū)間及最值，而b²≤g（a）_max，即可．
解答：解：（Ⅰ）對(duì)f（x）求導(dǎo)可得f'（x）=ax²+bx-a²（a＞0）．（2分）
因?yàn)閤₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以x₁，x₂是方程f'（x）=0的兩個(gè)實(shí)根．
于是，
故，
即b²=4a²-4a³．（4分）
由b²≥0得4a²-4a³≥0，解得a≤1．a(chǎn)＞0，
所以0＜a≤1得證．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b²=4a²-4a³，設(shè)g（a）=4a²-4a³，
則g'（a）=8a-12a²=4a（2-3a）．（8分）
由g'（a）＞0；g'（a）＜0．（10分）
故g（a）在時(shí)取得最大值，
即，
所以．（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決問(wèn)題，要求考生熟練掌握基本知識(shí)，靈活轉(zhuǎn)化問(wèn)題，還要具備一定的邏輯推理的能力．