Question

【題目】一個(gè)函數(shù)，如果對(duì)任意一個(gè)三角形，只要它的三邊長(zhǎng)、、都在的定義域內(nèi)，就有、、也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，則稱為“保三角形函數(shù)”.

（1）若是定義在上的周期函數(shù)，且值域?yàn)?/span>，證明：不是保三角形函數(shù)；

（2）若是保三角形函數(shù)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（l）設(shè)為函數(shù)的一個(gè)周期.因?yàn)槠渲涤驗(yàn)?/span>，所以，存在，使得，.

取正整數(shù)，可知、、這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).但，，不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故不是保三角形函數(shù).

（2）的最大值為.

一方面，若，下證：不是保三角形函數(shù).

取、、.顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).但、、不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故不是保三角形函數(shù).

另一方面，證明：當(dāng)時(shí)，是保三角形函數(shù).

對(duì)任意三角形的三邊、、，若、、，則分兩種情況討論：

（i）.此時(shí)，.

同理，，.

所以，、、.

故、、.

因此、、可作為某三角形的三邊長(zhǎng).

（ii）.此時(shí)，，則或.

若，由于，則.

因?yàn)?/span>在單調(diào)遞增，所以，.

若，則.

同樣可得.

總之，.

又由及余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減得.

故 .

同理，，.

因此，、、也是某三角形的三邊長(zhǎng).

綜上所述，當(dāng)時(shí)，是保三角形函數(shù).

故的最大值為.