Question

【題目】

已知雙曲線設過點的直線l的方向向量

（1） 當直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時，求直線l的方程及l與m的距離；

（2） 證明：當>時，在雙曲線C的右支上不存在點Q，使之到直線l的距離為.

Answer 1

【答案】（1），（2）見解析

【解析】

⑴中知道雙曲線的方程可以求出漸近線方程，因為直線l和漸近線平行，所以可以確定l的方程，直線l與m方程確定，可以利用兩條平行線間的距離公式求出距離.⑵是一個存在性問題，可以尋找參考對象，也可用反證法.

（1）雙曲線C的漸近線，即…… 2分

直線的方程…… 6分

直線與m的距離…… 8分

（2）設過原點且平行于的直線

則直線與的距離，

當時，. …… 12分

又雙曲線C的漸近線為，

雙曲線C的右支在直線的右下方，

雙曲線C的右支上的任意點到直線的距離大于.

故在雙曲線C的右支上不存在點Q到到直線的距離為…… 16分

假設雙曲線C右支上存在點Q到到直線的距離為，

則， （1）由（1）得， …… 11分

設

當時，：

…… 13分

將代入（2）得，

，

故在雙曲線C的右支上不存在點Q到到直線的距離為…… 16分