Question

若函數f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]上為單調函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先由f′（x）＞0，再根據函數f（x）在[-1，1]上為單調函數，將原問題轉化為x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立問題，列出關于a的不等關系解之即得．

解答：解：∵x∈R，f'（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]
1）若f（x）在[-1，1]遞減，則f'（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
（1）x=-1時（1）式成立；x∈（-1，1]時，需滿足a≥

x2+2x

2(x+1)

，令g（x）=

x2+2x

2(x+1)

，
則g′(x)=

x2+2x+2

2(x+1)2

＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]遞增，∴g(x)max=g(1)=

3

4

，∴a≥

3

4

；
2）若f（x）在[-1，1]遞增，則f'（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f'（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不遞增；
綜上a≥

3

4

．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．