Question

若函數(shù)f（x）對(duì)于任意x∈[a，b]，恒有|f（x）-f（a）-（x-a）|≤T（T為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級(jí)線性逼近”．下列函數(shù)中：
①f（x）=2x+1；
②f（x）=x²；
③f（x）=；
④f（x）=x³．
則在區(qū)間[1，2]上具有“級(jí)線性逼近”的函數(shù)的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：根據(jù)稱函數(shù)f（x）在[a，b]上具有“T級(jí)線性逼近”的定義，判斷各個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)在區(qū)間[1，2]上是否滿足“級(jí)線性逼近”的定義，從而得出結(jié)論．
解答：f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|0|≤，故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=x² 在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|（x-1）（x-2）|=-（x-1）（x-2）≤，
故f（x）=x²在區(qū)間[1，2]上具有“級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|+-|=-（+）≤-2=-≤，
故f（x）=2x+1在區(qū)間[1，2]上具有“級(jí)線性逼近”，故滿足條件．
f（x）=x³在區(qū)間[1，2]上，由于|f（x）-f（1）-（x-1）|=|x³-7x+6|=|（x-1）（x-3）（x+2）|=-（x-1）（x-3）（x+2），
由于-（x³-7x+6）的導(dǎo)數(shù)為-3x²+7，令-3x²+7=0 可得 x=，在[1，]上，3x²-7＜0，-（x-1）（x-3）（x+2）為增函數(shù)，
同理可得在[，2]上，-（x-1）（x-3）（x+2）為減函數(shù)，故-（x-1）（x-3）（x+2）的最大值為 （-1）（3-）（+2）＞，
故不滿足“級(jí)線性逼近”，故不滿足條件．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義：“T級(jí)線性逼近”的定義，不等式的性質(zhì)應(yīng)用，式子的變形是解題的難點(diǎn)，屬于中檔題．