Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，
第3小題滿分8分．
如果數列同時滿足：（1）各項均為正數，（2）存在常數k, 對任意都成立，那么，這樣的數列我們稱之為“類等比數列” .由此各項均為正數的等比數列必定是“類等比數列” .問：
（1）若數列為“類等比數列”，且k＝(a₂－a₁)²，求證：a₁、a₂、a₃成等差數列；
（2）若數列為“類等比數列”，且k＝， a₂、a₄、a₅成等差數列，求的值；
（3）若數列為“類等比數列”，且a₁＝a，a₂＝b(a、b為常數)，是否存在常數λ，使得對任意都成立？若存在，求出λ；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）或，（3）

試題分析：（1）解決新定義問題，關鍵根據“定義”列條件，當時，在中，令得即因為所以即故成等差數列，（2）根據“定義”，將所求數列轉化為等比數列.當時，，因為數列的各項均為正數，所以數列是等比數列，設公比為因為成等差數列，所以即因為所以 ，,解得或(舍去負值)．所以或,（3）存在性問題，通常從假設存在出發，列等量關系，將是否存在轉化為對應方程是否有解. 先從必要條件入手，再從充分性上證明：因為所以所以即得所以
而
試題解析：[解] (1)當時，在中，令得
即            2分
因為所以即
故成等差數列                           4分
(2)當時，，因為數列的各項均為正數
所以數列是等比數列                        6分
設公比為因為成等差數列，所以
即因為
所以 ，            8分
解得或(舍去負值)．所以或 10分
(3)存在常數使（僅給出結論2分）
（或從必要條件入手）
證明如下：因為所以
所以即     12分
由于此等式兩邊同除以得    14分
所以
即當都有                16分
因為所以
所以
所以對任意都有
此時                          18分