Question

如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF．連接CF交BD于G，連接BE交AG于點H．若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據正方形的性質利用“邊角邊”證明△ABE和△DCF全等，可得∠1=∠2，同理證明△ADG和△CDG全等，可得∠2=∠3，從而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°．
取AB的中點O，可得OH=

1

2

AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根據三角形的三邊關系可知，當O、D、H三點共線時，DH的長度最小．

解答：解：在正方形ABCD中，∵AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，由

AB=CD ∠BAD=CDA AE=DF

 可得△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2．
同理可證△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，∴∠1=∠3．
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°-90°=90°．
取AB的中點O，連接OH、OD，
則OH=AO=

1

2

AB=1，在Rt△AOD中，OD=

AO2+AD2

=

1+4

=

5

．
根據三角形的三邊關系，OH+DH＞OD，
∴當O、D、H三點共線時，DH的長度最小，
DH的最小值為OD-OH=

5

-1．
故答案為：

5

-1．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，三角形的三邊關系，確定出DH最小時點H的位置是解題關鍵，也是本題的難點，屬于難題．