Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=

2

，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面ACE．

Answer 1

分析：（1）PA=AB=1，PB=

2

，可得PA⊥AB．同理PA⊥AD．得證．
（2）設出平面ACE的一個法向量為

n

，根據法向量與平面內任一向量垂直，數量積為0，構造方程組，求出平面ACE的法向量為

n

的坐標，代入面面夾角向量公式，即可求出答案．
（3）假設在棱PC存在一點F，使得BF∥平面AEC，則須

BF

與

n

垂直．數量積為0，利用方程解的存在與否判定點F是否存在．

解答：解：（1）正方形ABCD邊長為1，PA=1，PB=PD=

2

，
所以，∠PAB=∠PAD=90°，即PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A，
根據直線和平面垂直的判定定理，
有PA⊥平面ABCD．         
（2）如圖，以A為坐標原點，直線AB、AD、AP分別x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．
則

AC

=(1 ，1 ，0)，

AE

=(0 ，

2

3

 ，

1

3

)，
由（1）知

AP

為平面ACD的法向量，

AP

=(0 ，0 ，1)，
設平面ACE的法向量為

n

=(a，b，c)，
則

a+b=0 2 3 b+ 1 3 c=0

令c=6，則b=-3，a=3，

n

=(3，-3，6)，…（4分）
設二面角D-AC-E的平面角為θ，則|cosθ|=

| n • AP |

| n || AP |

=

6

3

，
又有圖可知，θ為銳角，
故所求二面角的余弦值為

6

3

．
（3）設

PF

=λ

PC

(λ∈[0 ， 1])，則

PF

=λ(1 ，  1，-1)=(λ，  λ，-λ)，

BF

=

BP

+

PF

=(λ-1，  λ，1-λ)，
若BF∥平面ACE，則

BF

⊥

n

，即

BF

•

n

=0，（λ-1，λ，1-λ）•（3，-3，6）=0，
計算得λ=

1

2

所以，存在滿足題意的點，即當F是棱PC的中點時，BF∥平面ACE．…（8分）

點評：（1）注意勾股定理及其逆定理在證明線線垂直時價值．
（2）兩平面法向量的夾角θ與兩平面間的夾角φ關系是相等或互補．但必有|cosθ|=|cosφ|．
（3）此問重點考查了利用空間向量的方法及假設存在于方程的思想進行求解的方法