Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦距為2 ，橢圓C上任意一點到橢圓兩個焦點的距離之和為6． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx﹣2與橢圓C交于A，B兩點，點P（0，1），且|PA|=|PB|，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由橢圓的定義可得2a=6，2c=2 ， 解得a=3，c= ，
所以b2=a2﹣c2=3，
所以橢圓C的方程為 + =1．
（Ⅱ）由
得（1+3k2）x2﹣12kx+3=0，
由于直線與橢圓有兩個不同的交點，
所以△=144k2﹣12（1+3k2）＞0解得 ．
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）
則 ， ，
，
所以，A，B中點坐標E（ ， ），
因為|PA|=|PB|，所以PE⊥AB，即kPEkAB=﹣1，
所以 k=﹣1
解得k=±1，
經檢驗，符合題意，
所以直線l的方程為x﹣y﹣2=0或x+y+2=0
【解析】（Ⅰ）由橢圓的定義可得a，由焦距的概念可得c，再由a，b，c的關系可得b，進而得到橢圓方程；（Ⅱ）直線l：y=kx﹣2代入橢圓方程，運用韋達定理和判別式大于0，再由中點坐標公式和兩直線垂直的條件，可得k的方程，解方程可得直線方程．