Question

【題目】已知拋物線，直線過焦點且與拋物線交于、兩點，當直線的傾斜角為30°時，．

（1）求拋物線方程．

（2）在平面直角坐標系中，是否存在定點，當直線繞旋轉時始終都滿足平分．若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

設、，

（1）根據拋物線方程，寫出焦點坐標，得出直線的方程，代入拋物線方程，根據弦長公式，列出等式，求解，即可得出結果；

（2）先由直線斜率不存在時，、關于軸對稱，易知點在軸上，不妨設為，設直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，得到，，再由平分，得到，即，化簡整理，進而可求出，即可得出結果.

設、，

（1）由題意知拋物線的焦點坐標為，

設直線的方程為：，代入整理得，

所以，

所以，因此，

故拋物線方程為；

（2）當直線斜率不存在時，、關于軸對稱，易知點在軸上，不妨設為，

設直線的方程為，聯立得，

所以，，

因為平分，

所以，即，所以，

因此，

即，即，解得.

故存在滿足平分，且坐標為.