Question

【題目】已知直線與橢圓相交于兩點.

（1）若橢圓的離心率為，焦距為2，求線段的長；

（2）若向量與向量互相垂直（其中為坐標原點），當橢圓的離心率時，求橢圓的長軸長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知可先求得橢圓的標準方程，再聯立直線與橢圓方程求得關于的一元二次方程，結合韋達定理和弦長公式即可求得；

（2）設，由向量與向量互相垂直可得，同時聯立直線與橢圓方程可得，消去得：，結合韋達定理和前式代換，最終可整理得，結合即可得到關于的不等式，進而求出長軸長的范圍

（1）,即，，則.

∴橢圓的方程為，聯立消去得：，

設，則.；

（2）設，

，即，

由消去得，

由，

整理得.

又，

得：

整理得：①，，代入①式得

，適合條件

由此得，故長軸長的最大值為.