Question

【題目】若是遞增數(shù)列，數(shù)列滿足：對(duì)任意，存在，使得，則稱是的“分隔數(shù)列”.

（1）設(shè)，證明：數(shù)列是的分隔數(shù)列；

（2）設(shè)是的前n項(xiàng)和，，判斷數(shù)列是否是數(shù)列的分隔數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（3）設(shè)是的前n項(xiàng)和，若數(shù)列是的分隔數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）數(shù)列不是數(shù)列的分隔數(shù)列；（3）.

【解析】

（1）由新定義，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得證；

（2）運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合新定義，即可判斷；

（3）討論a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，結(jié)合新定義，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范圍．

（1）∵{cn}是遞增數(shù)列，數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意n∈N*，存在m∈N*，使得，

∴cn≤am＜cn+1，

∵cn＝2n，am＝m+1，

∴2n≤m+1＜2n+2，

∴2n﹣1＜m≤2n+1，

∴m＝2n，

∴對(duì)任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，則稱{an}是{cn}的“分隔數(shù)列；

（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n項(xiàng)和，dn＝c3n﹣2，

∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，

∴d1＝﹣3，

∴Sn＝＝n（n﹣7），

若數(shù)列{Sn}是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列，

∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，

即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），

由于n＝4時(shí)，12≤m（m﹣7）＜18，

不存在自然數(shù)m，使得不等式成立，

∴數(shù)列{Sn}不是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列；

（3）設(shè)，Tn是{cn}的前n項(xiàng)和，

∵數(shù)列{Tn}是{cn}的分隔數(shù)列，

則{cn}為遞增，

當(dāng)a＞0時(shí)，q＞1，

∴aqn﹣1≤＜aqn，

即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），

當(dāng)1＜q＜2時(shí)，數(shù)列最小項(xiàng)可以得到m不存在；

q＞2時(shí)，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；

qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2時(shí)，q2﹣1＜q2（q﹣1），

解得q＞2，對(duì)n＞3也成立；

當(dāng)a＜0時(shí)，0＜q＜1時(shí)，

aqn﹣1≤＜aqn，

即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），

取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，

1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，

則a＜0，0＜q＜1不成立，

綜上可得，a＞0，q＞2．