Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數.

（1）若函數在區間上是單調函數，試求實數的取值范圍；

（2）已知函數，且，若函數在區間上恰有3個零點，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：（1）函數在區間上單調遞增等價于在區間上恒成立，可得，函數在區間單調遞減等價于在區間上恒成立，可得，綜合兩種情況可得結果；（2），由，知在區間內恰有一個零點，設該零點為，則在區間內不單調，所以在區間內存在零點，同理， 在區間內存在零點，所以只需在區間內恰有兩個零點即可，利用導數研究函數的單調性，結合函數單調性討論的零點，從而可得結果．

試題解析：（1），

當函數在區間上單調遞增時， 在區間上恒成立，

∴（其中），解得；

當函數在區間單調遞減時， 在區間上恒成立，

∴（其中），解得．

綜上所述，實數的取值范圍是．

（2）．

由，知在區間內恰有一個零點，

設該零點為，則在區間內不單調，

所以在區間內存在零點，

同理， 在區間內存在零點，

所以在區間內恰有兩個零點．

由（1）知，當時， 在區間上單調遞增，故在區間內至多有一個零點，不合題意．

當時， 在區間上單調遞減，

故在內至多有一個零點，不合題意；

所以．

令，得，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增．

記的兩個零點為， （），

因此， ，必有， ．

由，得，

所以，

又， ，

所以．

綜上所述，實數的取值范圍為．