Question

（2009•黃岡模擬）設a、b、c依次是△ABC的角A、B、C所對的邊，若

tanA•tanB

tanA+tanB

=1004tanC，且a²+b²=mc²，則m=

2009

．

Answer 1

分析：角三角函數的基本關系，正弦定理可得  c²=

abcosC

1004

，再根據 a²+b²=mc²，m=

2008(a2+b2)

a2+b2-c2

，把余弦定理代入
可得m=

2008(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，解方程求出m值．

解答：解：△ABC中，∵

tanA•tanB

tanA+tanB

=1004tanC，∴

sinAsinB

sinAcosB+cosAsinB

=1004

sinC

cocC

，
∴sinAsinBcosC=1004sinC•sin（A+B）=1004sin²C，由正弦定理得
abcosC=1004c²，c²=

abcosC

1004

． 
又∵a²+b²=mc²，∴a²+b²=m•

abcosC

1004

=

mab• a2+b2-c2 2ab

1004

=

m(a2+b2-c2)

2008

，
∴m=

2008(a2+b2)

a2+b2-c2

=

2008(a2+b2)

a2+b2- a2+b2 m

，∴2008（a²+b²）=m（a²+b²）-（ a²+b² ）．
∴m=2009，
故答案為：2009．

點評：本題考查同角三角函數的基本關系，正弦定理、余弦定理的應用，式子變形是解題的關鍵和難點．