Question

（本小題滿分12分）如圖，矩形所在平面與平面垂直，，且，為上的動點.

(Ⅰ)當為的中點時，求證：；
(Ⅱ)若，在線段上是否存在點E，使得二面角的大小為. 若存在，確定點E的位置，若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)根據已知條件當為中點時，，              
從而為等腰直角三角形，∴，同理可得，∴，
于是，再結合又平面平面，得到平面得到證明。 (2) 點在線段BC上距B點處

試題分析：方法一：不妨設，則.
(Ⅰ)證明：當為中點時，，              
從而為等腰直角三角形，∴，
同理可得，∴，
于是，                        
又平面平面，
平面平面，
平面，  
∴ ，又，∴.………………6分
(Ⅱ)若線段上存在點,使二面角為。
過點作于,連接,由⑴ 所以

為二面角的平面角，
…………………………..8分
設, 則中，在中由，得,則,在中 ,所以,所以線段上存在點,當時，二面角為。                                       .12分
方法二：∵平面平面，平面平面，平面，
以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系如圖.

(Ⅰ)不妨設，AB=1 
則，
從而，…………………………4分
于是，
所以所以  ………………………………6分
(Ⅱ)設，則，
.……………………………………8分
易知向量為平面的一個法向量.設平面的法向量，
則 即，解得，令則，，
從而，……………………………………………10分
依題意，即，
解得（舍去）， 
所以點在線段BC上距B點處..………………………………………12分
點評：解決該試題的關鍵是能熟練的運用已學的線面垂直的判定定理和性質定理來證明線線垂直，同時用平面的法向量來求解二面角的大小。屬于中檔題。