Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2bx+c，且f（1）=f（3）=﹣1．設a＞0，將函數f（x）的圖象先向右平移a個單位長度，再向下平移a2個單位長度，得到函數g（x）的圖象． （Ⅰ）若函數g（x）有兩個零點x1 ， x2 ， 且x1＜4＜x2 ， 求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設連續函數在區間[m，n]上的值域為[λ，μ]，若有 ，則稱該函數為“陡峭函數”．若函數g（x）在區間[a，2a]上為“陡峭函數”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，

即f（x）=x2﹣4x+2，…（1分）

由題設可知g（x）=（x﹣a）2﹣4（x﹣a）+2﹣a2=x2﹣（2a+4）x+4a+2，

因為g（x）有兩個零點x1，x2，且x1＜4＜x2，

∴g（4）=16﹣4（2a+4）+4a+2＜0， ，

又a＞0，于是實數a的取值范圍為 ．

（Ⅱ）由g（x）=x2﹣（2a+4）x+4a+2可知，其對稱軸為x=a+2，

①當0＜a≤2時，a+2≥2a，函數g（x）在區間[a，2a]上單調遞減，

最小值λ=g（2a）=﹣4a+2，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，

則 ，顯然此時a不存在，

②當2＜a≤4時，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，

又 ，最大值μ=g（a）=﹣a2+2，則 ， ，又2＜a≤4，此時a亦不存在，

③當a＞4時，a＜a+2＜2a，最小值λ=g（a+2）=﹣a2﹣2，

又 ，故最大值μ=g（2a）=﹣4a+2，

則 ， ，即 ，

綜上可知，實數a的取值范圍為 ．

【解析】（Ⅰ）由f（1）=f（3）=﹣1求出b，c值，得到函數f（x）的解析式，進而可得函數g（x）的解析式，由函數g（x）有兩個零點x1，x2，且x1＜4＜x2，可得g（4）＜0，解得實數a的取值范圍；（Ⅱ）根據已知中“陡峭函數”的定義，結合二次函數的圖象和性質，分類討論，可得滿足條件的實數a的取值范圍．