Question

設函數(shù)α，β∈[-

π

2

，

π

2

]，且αsinα-βsinβ＞0，則下列不等式必定成立的是（　　）

A．α＞β

B．α＜β

C．α+β＞0

D．α²＞β²

Answer 1

分析：構造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，利用奇偶函數(shù)的定義可判斷其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判斷f（x）=xsinx，x∈[0，

π

2

]與x∈[-

π

2

，0]上的單調性，從而可選出正確答案．

解答：解：令f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，
∵f（-x）=-x•sin（-x）=x•sinx=f（x），
∴f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]為偶函數(shù)．
又f′（x）=sinx+xcosx，
∴當x∈[0，

π

2

]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，

π

2

]單調遞增；
同理可證偶函數(shù)f（x）=xsinx在x∈[-

π

2

，0]單調遞減；
∴當0≤|β|＜|α|≤

π

2

時，f（α）＞f（β），即αsinα-βsinβ＞0，反之也成立；
故選D．

點評：本題考查正弦函數(shù)的單調性，難點在于構造函數(shù)f（x）=xsinx，x∈[-

π

2

，

π

2

]，通過研究函數(shù)f（x）=xsinx，的奇偶性與單調性解決問題，屬于難題．