Question

設(shè)對于任意的實數(shù)x，y，函數(shù)f（x，）g（x）滿足，且f（0）=2，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=5，a_n=f（n），b_n=g（n），n?N^*． （Ⅰ）求數(shù)列a_n，b_n的通項公式b_n的通項公式
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_nb_n，求數(shù)列c_n的n和S_n的前n和S_n

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要求{a_n}，{b_n}的通項，從f（x+1）=中構(gòu)造a_n+1與a_n的關(guān)系，b_n的通項公式，從f（x+1）=f（x）中構(gòu)造a_n+1與a_n的關(guān)系，從g（x+y）-g（x）=2y，構(gòu)造b_n+1-b_n=2，分別利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求a_n，b_n；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n是等差數(shù)列與等比數(shù)列的積，用乘公比錯位相減求和．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴，
∵a_n=f（n），a_n+1=f（n+1），

所以{a_n}，以為公比，以1為首項的等比數(shù)列
∴
∵g（x+y）=g（x）+2y，∴g（x+1）-g（x）=2
b_n=g（n），∴b_n+1-b_n=g（n+1）-g（n）=2
∵b₃=g（3）=5，∴b₁=1
數(shù)列{b_n}以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列
b_n=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）
S_n=c₁+c₂+…+c_n
=

∴
點評：本題主要考查等差、等比數(shù)列遞推關(guān)系的基本方法，同時考查構(gòu)造法及推理論證的能力，而乘公比錯位相減求和是數(shù)列求和的一個難點與易錯點．