Question

某市為考核一學校質量，對該校甲、乙兩班各50人進行測驗，根據這兩班的成績繪制莖葉圖如圖1：
（1）求甲、乙兩班成績的中位數，并將甲乙兩班數據合在一起，繪出這些數據的頻率分布直方圖；
（2）根據抽樣測驗，從成績的個位數為2的同學中任選4人，設這4人中有ξ人來自甲班，求隨機變量ξ的分布列和期望值；
（3）根據莖葉圖2分析甲、乙兩班成績的特點．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）利用莖葉圖能求出甲、乙兩班成績的中位數，并能繪出這些數據的頻率分布直方圖．
（2）教學成績個位數為2的同學甲班有6人，乙班有4人，故ξ的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的分布列和期望值
（3）甲班成績低于乙班成績，但全班成績較集中，乙班成績高于甲班，但學生間差異較大．

解答： 解：（1）甲班50位學生成績由小到大排序，
排在第25，26位的數為72和73，
故甲班成績的中位數為：

72+73

2

=72.5，
乙班50位學生的成績由小到大排序，
排在第25，26位的數是78和78，
故乙班學生的中位數為：

78+78

2

=78．
[50，60）上的頻數為5，[60，70）上的頻數為20，
[70，80）上的頻數為45，[80，90）上的頻數為25，
[90，100）上的頻數為5，
由此作出這些數據的頻率分布直方圖，如右圖所示．
（2）教學成績個位數為2的同學甲班有6人，乙班有4人，
故ξ的可能取值為0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

C 4 4

C 4 10

=

1

210

，
P（ξ=1）=

C 1 6 C 3 4

C 4 10

=

4

35

，
P（ξ=2）=

C 2 6 C 2 4

C 4 100

=

3

7

，
P（ξ=3）=

C 3 6 C 1 4

C 4 10

=

8

21

，
P（ξ=4）=

C 4 6

C 4 10

=

1

14

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	1 210	4 35	3 7	8 21	1 14

Eξ=0×

1

210

+1×

4

35

+2×

3

7

+4×

1

14

=

12

5

．
（3）甲班中位數低于乙班中位數，且從莖葉圖可大致看出，
甲班的標準差小于乙班，
說明甲班成績低于乙班成績，但全班成績較集中，乙班成績高于甲班，但學生間差異較大．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一