Question

若曲線C₁：x²+y²-4x=0與曲線C₂：y（y-mx-x）=0有四個不同的交點，則實數m的取值范圍是（　　）

• A、（-

  2 5

  5

  ，

  2 5

  5

  ）
• B、（-

  2 5

  5

  ，0）∪（0，

  2 5

  5

  ）
• C、[-

  3

  3

  ，

  3

  3

  ]
• D、（-∞，-

  3

  3

  ）∪（

  3

  3

  ，+∞）

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：綜合題,直線與圓

分析：曲線C₁表示以C₁：（4，0）為圓心、半徑等于4的圓；①當m≠0時，曲線C₂表示x軸及過點（-1，0）且斜率為m的直線，要使兩條曲線有四個不同交點，需y=m（x+1）和圓 （x-4）²+y²=16 相交，根據圓心到此直線的距離小于半徑，求得m的范圍．②當m=0時，檢驗不滿足條件．綜合可得m的范圍．

解答： 解：曲線C₁：x²+y²-4x=0 即（x-2）²+y²=4，表示以C₁：（2，0）為圓心、半徑等于2的圓．
對于曲線C₂：y（y-mx-m）=0，
①當m≠0時，曲線C₂即 y=0，或y=m（x+1），表示x軸及過點（-1，0）且斜率為m的直線，
要使兩條曲線有四個不同交點，需y=m（x+1）和圓（x-2）²+y²=4相交，
故有

|3m|

m2+1

＜2，求得-

2 5

5

＜m＜

2 5

5

，且m≠0．
②當m=0時，曲線C₂：即y²=0，即y=0，表示一條直線，此時曲線C₂和曲線C₁ 只有一個交點，不滿足條件．
綜上可得，實數m的取值范圍是（-

2 5

5

，0）∪（0，

2 5

5

），
故選：B．

點評：本題主要考查曲線的方程，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．