Question

【題目】設有關于x的一元二次方程＝0．

(1)若a是從集合A={x∈Z|0≤x≤3}中任取一個元素，b是從集合B={x∈Z|0≤x≤2}中任取一個元素，求方程＝0恰有兩個不相等實根的概率;

(2) 若a是從集合A={x|0≤x≤3}中任取一個元素，b是從集合B={x|0≤x≤2}中任取一個元素，求上述方程有實根的概率．

Answer 1

【答案】(1)； （2）.

【解析】

（1）本題是古典概型，由分步計數原理知基本事件共12個，當a≥0，b≥0時，方程x2+2ax+b2=0有兩個不相等實根的充要條件為a＞b，滿足條件的事件中包含6個基本事件，由古典概型公式得到結果；

（2）本題是幾何概型，試驗的全部約束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}．構成事件B的區域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a＞b}，畫出圖形，求出對應面積，由面積比得答案．

(1)由題意知a取集合{0，1，2，3}中任一個元素，b取集合{0，1，2}中任一個元素，a，b取值的所有情況是:(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值，即基本事件總數為12. 記“方程恰有兩個不相等的實根”為事件A， 其等價于a>b. 而當a>b時，a，b取值的情況有(1，0)， (2，0)，(2，1)， (3，0)，(3，1)，(3，2)，即A包含的基本事件數為6，所以方程恰有兩個不相等實根的概率P(A)==.

(2)設事件B為“方程有實根”．當a≥0，b≥0時，方程有實根需滿足a≥b．試驗的全部結束所構成的區域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2}．構成事件B的區域為{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}（如下圖所示的陰影部分）.

因此所求的概率為P(B)＝．