Question

【題目】設函數f（x）=|x﹣a|，a＜0．
（Ⅰ）證明f（x）+f（﹣ ）≥2；
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：函數f（x）=|x﹣a|，a＜0，

則f（x）+f（﹣ ）=|x﹣a|+|﹣ ﹣a|

=|x﹣a|+| +a|≥|（x﹣a）+（ +a）|

=|x+ |=|x|+ ≥2 =2．

（Ⅱ）解：f（x）+f（2x）=|x﹣a|+|2x﹣a|，a＜0．

當x≤a時，f（x）=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x，則f（x）≥﹣a；

當a＜x＜ 時，f（x）=x﹣a+a﹣2x=﹣x，則﹣ ＜f（x）＜﹣a；

當x 時，f（x）=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a，則f（x）≥﹣ ．

則f（x）的值域為[﹣ ，+∞），

不等式f（x）+f（2x）＜ 的解集非空，即為

＞﹣ ，解得，a＞﹣1，由于a＜0，

則a的取值范圍是（﹣1，0）

【解析】（Ⅰ）運用絕對值不等式的性質和基本不等式，即可得證；（Ⅱ）通過對x的范圍的分類討論去掉絕對值符號，轉化為一次不等式，求得（f（x）+f（2x））min即可．