Question

【題目】已知函數（且）是定義在上的奇函數.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求函數的值域；

（Ⅲ）當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由函數為奇函數可得，即，可得．（Ⅱ）分離常數可得，故函數為增函數，再由，可得，即可得函數的值域．(Ⅲ)通過分離參數可得在時恒成立，令，則有，根據函數的單調性可得函數的最大值，從而可得實數的取值范圍．

試題解析：

（Ⅰ）∵是上的奇函數，

∴，

即.

整理可得．

（注：本題也可由解得，但要進行驗證）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴函數在上單調遞增，

又，

∴，

∴．

∴函數的值域為．

（Ⅲ）當時， ．

由題意得在時恒成立，

∴在時恒成立．

令，

則有，

∵當時函數為增函數，

∴.

∴.

故實數的取值范圍為．