Question

已知函數．
（I）求函數的單調區間；
（Ⅱ）若，試解答下列兩小題．
（i）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍；
（ii）若是兩個不相等的正數，且以，求證：．

Answer 1

（I）①當時，遞增區間是；②當時，遞增區間是，遞減區間為；（Ⅱ）（i）實數的取值范圍為；（ii）詳見試題解析．

試題分析：（I）首先求函數的定義域，再求的導數，令下面分和討論求函數的單調區間；（Ⅱ）（i）先由已知條件，將問題轉化為設求函數的導數：，由此討論可得在上為減函數，從而求得實數的取值范圍；（ii）先根據已知條件把化簡為，只要證設，構造函數利用導數可得在上單調遞減，在上單調遞增，最終證得．
試題解析：（I）解：函數的定義域為令
①當時，在上恒成立，∴遞增區間是；
②當時，由可得，∴遞增區間是，遞減區間為．                                    （6分）
（Ⅱ）（i）解：設則．
∵在上恒成立，∴在上為減函數，∴實數的取值范圍為．                              （10分）
（ii）證明：
．設，則．
令，得，在上單調遞減，在上單調遞增
．               （15分）