Question

【題目】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示，在正方體中，設BC的中點為M，GH的中點為N

(1)請將字母F，G，H標記在正方體相應的頂點處（不需說明理由）；

(2)證明：直線MN∥平面BDH

（3）求異面直線MN與AG所成角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析；（3）

【解析】

(1) 直接將平面圖形折疊同時注意頂點的對應方式即可.(2)先證明QH∥MN，再證明MN∥平面BDH.(3)先證明就是異面直線AG與MN所成角（或其補角），再利用余弦定理求異面直線AG與MN所成角的余弦值為.

（1）直接將平面圖形折疊同時注意頂點的對應方式即可，如圖

(2)連接BD，取BD的中點Q，連接MQ，

因為M，Q為線段BC、BD中點，所以MQ∥CD∥GH且,

又因為N為GH中點，所以得到NH=MQ且NH∥MQ，

所以四邊形QMNH為平行四邊形，得到QH∥MN

又，所以MN∥平面BDH

(3)如圖所示，在原正方體的右側補上一個與其大小相等的正方體，連接GO，易得GO∥MN，就是異面直線AG與MN所成角（或其補角），

設正方體的棱長為2，則,

所以異面直線AG與MN所成角的余弦值為.