Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F以及橢圓C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點及左、右頂點均在圓O：x²+y²=1上．
（1）求拋物線C₁和橢圓C₂的標準方程；
（2）過點F的直線交拋物線C₁于A，B兩不同點，交y軸于點N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，則λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）由拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0）在圓O：x²+y²=1上得：

p2

4

=1
∴p=2，
∴拋物線C₁：y²=4x（3分）
同理由橢圓C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點（0，c），（0，-c）
及左、右頂點（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，
∴a=

2

．
得橢圓C₂：x²+

y2

2

=1．（6分）
（2）λ₁+λ₂是定值，且定值為-1．
設直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則N（0，k）．
聯(lián)立方程組

y2=4x y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）+k²=0，
∴△=16k²+16＞0，且

x1+x2= 2k2+4 k2 x1x2=1

，（9分）
由

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

得：λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂，
整理得：λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

，
λ₁+λ₂=

x1+x2-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=

2k2+4-2 k2

1- 2k2+4 k2 +1

=-1 （13分）