Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點為F(0，

2

)，且長軸長與短軸長的比為

2

：1．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上在第一象限內的一點P的橫坐標為1，過點P作傾斜角互補的兩條不同的直線PA，PB分別交橢圓C于另外兩點A，B．求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

（1）由已知可設橢圓C的方程為：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
依題意：

a

b

=

2

且a²=b²+2解得：a²=4b²=2
故橢圓C的方程為：

y2

4

+

x2

2

=1…（4分）
（2）證明：由（1）知：P（1，

2

）
由已知設PA：y-

2

=k(x-1)，即：y=kx-(k-

2

)
PB：y-

2

=-k(x-1)，即：y=-kx+(k+

2

)…（6分）
由

y=kx-(k- 2 ) 2x2+y2=4

得：(k2+2)x2-2k(k-

2

)+k2-2

2

k-2=0
設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）則：x1+1=

2k2-2 2 k

k2+2

故：x1=

k2-2 2 k-2

k2+2

同理：x2=

k2+2 2 k-2

k2+2

…（10分）
直線AB的斜率kAB=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+x2)-2k

x1-x2

=

k 2k2-4 k2+2 -2k

-4 2 k k2+2

=

-8k

-4 2 k

=

2

所以：直線AB的斜率為定值．…（12分）