Question

【題目】（1）已知直線l過點，它的一個方向向量為．

①求直線l的方程；

②一組直線，，，，，都與直線l平行，它們到直線l的距離依次為d，，，，，（），且直線恰好經過原點，試用n表示d的關系式，并求出直線的方程（用n、i表示）；

（2）在坐標平面上，是否存在一個含有無窮多條直線，，，，的直線簇，使它同時滿足以下三個條件：①點；②，其中是直線的斜率，和分別為直線在x軸和y軸上的截距；③.

Answer 1

【答案】（1）①；②，；（2）不存在.

【解析】

（1）根據直線的方向向量可得直線的斜率,結合點斜式即可求得直線方程;根據直線平行且過原點,可得直線的方程,由平行線間距離公式可得n與d的關系式,設出直線的方程,根據點到直線距離公式可求得直線方程.

（2）假設存在這樣的直線簇.先求得,的表達式,進而表示出.通過迭加法求得,即可證明當時,與不能成立.

（1）①直線l方向向量為

所以直線的斜率為

直線l過點,由點斜式方程可得

即直線l的方程為：；

②直線且經過原點,

直線的方程為：

由題意知直線到l的距離為,根據平行線間距離公式可得

則

設直線的方程為：

由題意知：直線到直線l的距離為,

所以直線的方程為：；

（2）假設存在滿足題意的直線簇．由①知的方程為：,,

分別令,得,,

由,即,,

迭加得．

由③知所有的同號,僅討論的情形,

由,

所以

顯然,當時,與矛盾！

故滿足題意的直線簇不存在．