Question

已知圓M：（x+

5

）²+y²=36，定點(diǎn)N（

5

，0），點(diǎn)P為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q在NP上，點(diǎn)G在MP上，且滿(mǎn)足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0．
（I）求點(diǎn)G的軌跡C的方程；
（II）點(diǎn)F（x，y）在軌跡C上，求2x²+y的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（I）由

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0，知Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線(xiàn)，∴|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，從而可求方程；（Ⅱ）易知-2≤y≤2，從而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．

解答：解：（Ⅰ）由

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0，知Q為PN的中點(diǎn)且GQ⊥PN，∴GQ為PN的中垂線(xiàn)，∴|PG|=|GN|
∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點(diǎn)的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=3，半焦距c=

5

，∴短半軸長(zhǎng)b=2，
∴點(diǎn)G的軌跡方程是

x2

9

+

y2

4

=1
（Ⅱ）易知-2≤y≤2，當(dāng)y=

1

9

時(shí)，2x²+y有最大值18

1

18

，當(dāng)y=-2時(shí)，2x²+y有最小值為-2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為符合橢圓的定義，（Ⅱ）的關(guān)鍵是從轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值．