Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；

（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：(1)先構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)不大于零得函數(shù)單調(diào)遞減，最后根據(jù)單調(diào)性證得不等式，(2)研究零點(diǎn)，等價(jià)研究的零點(diǎn)，先求導(dǎo)數(shù)：，這里產(chǎn)生兩個(gè)討論點(diǎn)，一個(gè)是a與零，一個(gè)是x與2，當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，先減后增，從而確定只有一個(gè)零點(diǎn)的必要條件，再利用零點(diǎn)存在定理確定條件的充分性，即得a的值.

詳解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于．

設(shè)函數(shù)，則．

當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．

而，故當(dāng)時(shí)，，即．

（2）設(shè)函數(shù)．

在只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)在只有一個(gè)零點(diǎn)．

（i）當(dāng)時(shí)，，沒有零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故是在的最小值．

①若，即，在沒有零點(diǎn)；

②若，即，在只有一個(gè)零點(diǎn)；

③若，即，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，

由（1）知，當(dāng)時(shí)，，所以．

故在有一個(gè)零點(diǎn)，因此在有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，．