Question

【題目】已知函數是奇函數．

（1）求實數的值；

（2）若，對任意有恒成立，求實數取值范圍；

（3）設,若，問是否存在實數使函數在上的最大值為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）不存在,理由見解析.

【解析】

（1）根據定義域為R且為奇函數可知, 代入即可求得實數的值.

（2）由（1）可得函數的解析式,并判斷出單調性.根據將不等式轉化為關于的不等式,結合時不等式恒成立,即可求得實數取值范圍；

（3）先用表示函數.根據求得的解析式,根據單調性利用換元法求得的值域.結合對數的定義域,即可求得的取值范圍.根據對數型復合函數的單調性,即可判斷在的取值范圍內能否取到最大值0.

（1）函數的定義域為R,且為奇函數

所以,即

解得

（2）由（1）可知當時,

因為,即

解不等式可得

所以在R上單調遞減,且

所以不等式可轉化為

根據函數在R上單調遞減

所不等式可化為

即不等式在恒成立

所以恒成立

化簡可得

由打勾函數的圖像可知,當時,

所以

（3）不存在實數.理由如下:

因為

代入可得,解得或(舍)

則,

令,易知在R上為單調遞增函數

所以當時, ,

則

根據對數定義域的要求,所以滿足在上恒成立

即在上恒成立

令,

所以,即

又因為

所以

對于二次函數,開口向上,對稱軸為

因為

所以

所以對稱軸一直位于的左側,即二次函數在內單調遞增

所以,

假設存在滿足條件的實數,則:

當時, 由復合函數單調性的判斷方法，可知為減函數,所以根據可知,即

解得,所以舍去

當時, 復合函數單調性的判斷方法可知為增函數,所以根據可知,即

解得,所以舍去

綜上所述,不存在實數滿足條件成立.