Question

【題目】某房地產開發商為吸引更多消費者購房,決定在一塊閑置的扇形空地中修建一個花園.如圖,已知扇形AOB的圓心角∠AOB=,半徑為R.現欲修建的花園為OMNH,其中M,H分別在OA,OB上,N在上.設∠MON=θ,OMNH的面積為S.

(1)將S表示為關于θ的函數;

(2)求S的最大值及相應的θ值.

Answer 1

【答案】（1）S=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=時,S取得最大值R2.

【解析】

（1）分別過N，H作ND⊥OA于D，HE⊥OA于E，則HEDN為矩形，求出邊長，即可求S關于θ的函數關系式；（2）利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數的表達式為一個角的一個三角函數的形式，通過θ的范圍求出S的最大值及相應的θ角.

(1)如圖,過N作NP⊥OA于點P,過H作HE⊥OA于點E,∵∠AOB=,

∴OE=EH=NP=Rsin θ,OP=Rcos θ,

∴HN=EP=OP-OE=R(cos θ-sin θ),

∴S=HN·NP=R2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.

(2)S=R2(cos θsin θ-sin2θ)

=R2

=R2(sin 2θ+cos 2θ-1)

=R2,

∵θ∈,∴2θ+,

∴當2θ+,即θ=時,S取得最大值,且最大值為R2.