Question

【題目】規定：在桌面上，用母球擊打目標球，使目標球運動，球的位置是指球心的位置，我們說球 A 是指該球的球心點 A．兩球碰撞后，目標球在兩球的球心所確定的直線上運動，目標球的運動方向是指目標球被母球擊打時，母球球心所指向目標球球心的方向．所有的球都簡化為平面上半徑為 1 的圓，且母球與目標球有公共點時，目標球就開始運動，在桌面上建立平面直角坐標系，解決下列問題：

(1) 如圖，設母球 A 的位置為 (0， 0)，目標球 B 的位置為 (4， 0)，要使目標球 B 向 C(8， -4) 處運動，求母球 A 球心運動的直線方程；

(2)如圖，若母球 A 的位置為 (0， -2)，目標球 B 的位置為 (4， 0)，能否讓母球 A 擊打目標 B 球后，使目標 B 球向 (8，－4) 處運動?

(3)若 A 的位置為 (0，a) 時，使得母球 A 擊打目標球 B 時，目標球 B(4， 0) 運動方向可以碰到目標球 C(7，-5)，求 a 的最小值（只需要寫出結果即可）

Answer 1

【答案】（1）；（2）不能；（3）.

【解析】

（1）求出直線的方程，設出球心的坐標，利用球心在直線上以及列方程組，可求得的值.，由此求得母球運動的直線方程.（2）計算求得為銳角，同理，計算點到線段的距離，判斷出不能.（3）要使最小，臨界條件為球從球的左上方處撞擊球后，球從球的右上方處撞擊球.列方程求得的坐標，過作傾斜角為的直線，與軸相交于，由此求得的最小值.

（1）

點B（4,0）與點C（8，－4）所石室的直線方程為：x＋y－4＝0，

依題意，知A，B兩球碰撞時，球A的球心在直線x＋y－4＝0上，且在第一象限，

此時｜AB｜＝2，設A，B兩球碰撞時球A的球心坐標為，

則有：，解得：，，

即：A，B兩球碰撞時球A的球心坐標為（，），

所以，母球A運動的直線方程為：

（2）記，因為，所以，故為銳角，同理可知也為銳角.故在直線上的投影在線段上，該點到的距離小于，故球經過該點之前就會與球碰撞，故不可能讓母球擊打目標球后，使目標球向處運動.

(3)的最小值為.要使得最小，臨界條件為球從球的左上方處撞擊球后，球從球的右上方處撞擊球.如下圖所示，設是球的所有路徑中最遠離的那條路徑上離球最近的點，則有，聯立，解得，所有直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角為，易得.過作傾斜角為的直線，交軸于點，易得，就是一個符合題意的初始位置.若，則球會在達到之前就與球碰撞，不合題意.因此的最小值為.