Question

已知正實數(shù)a，b滿足2a+b=1，則4a²+b²+

1

ab

的最小值為

17

2

．

Answer 1

分析：由題意，4a²+b²+

1

ab

=(2a+b)2+

1

ab

-4ab=1+

1

ab

-4ab，令ab=t，則4a²+b²+

1

ab

=1+

1

t

-4t，確定t的范圍及y=

1

t

-4t單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．

解答：解：4a²+b²+

1

ab

=(2a+b)2+

1

ab

-4ab=1+

1

ab

-4ab，
令ab=t，則4a²+b²+

1

ab

=1+

1

t

-4t．
∵正實數(shù)a，b滿足2a+b=1，
∴1≥2

2ab

，
∴0＜ab≤

1

8

，
∴0＜t≤

1

8

，
由y=

1

t

-4t可得y′=-

1

t2

-4＜0，∴0＜t≤

1

8

時，y=

1

t

-4t單調(diào)遞減，
∴y≥

15

2

，
∴4a²+b²+

1

ab

≥

17

2

．
故答案為：

17

2

．

點評：本題考查最值問題，考查基本不等式的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學生分析轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題．