Question

【題目】先閱讀下列題目的證法，再解決后面的問題．

已知a1，a2∈R，且a1＋a2＝1，求證：a＋a≥.

證明：構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，則f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a＝2x2－2x＋a＋a.

因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，

所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，從而得a＋a≥.

(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，請由上述結論寫出關于a1，a2，…，an的推廣式；

(2)參考上述證法，請對你推廣的結論加以證明．

Answer 1

【答案】（1）若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，則a＋a＋…＋a≥；（2）見解析.

【解析】

分析：（1）由已知中，求證及整個式子的證明過程，我們根據歸納推理可以得到一個一般性公式，若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，則；

（2）觀察已知中的證明過程，我們可以類比對此公式進行證明.

詳解：(1)解　若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，

則.

(2)證明:構造函數f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.

即f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a

＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，

因為對一切x∈R，恒有f(x)≥0，

所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，

從而得.