Question

【題目】平面直角坐標系中，橢圓： 的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦，當其中一條弦所在直線斜率為0時，兩弦長之和為6.

（1）求橢圓的方程；

（2）是拋物線： 上兩點，且處的切線相互垂直，直線與橢圓相交于兩點，求弦的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）3.

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的離心率，以及兩弦長之和為6，求出、，即可求橢圓的方程；（2）設直線， ， ，通過聯立直線與拋物線的方程、韋達定理、以及切線互相垂直，可得，即直線過拋物線的焦點，再聯立直線與橢圓的方程，利用弦長公式可得最值.

試題解析：（1）設橢圓方程為，由題意，得 ，解得 ，則該橢圓的標準方程為；

（2）設直線， ， ，

由，得： ，故， ，

由，得，

故切線的斜率分別為， ，

再由，得，即，

故，這說明直線過拋物線的焦點.

由，得，

從而，

當且僅當取等號.