Question

【題目】如圖，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中點．

.求證：（Ⅰ）PA∥平面BDE；（Ⅱ）平面PAC⊥平面BDE；(III)若PB與底面所成的角為600, AB=2a,求三棱錐E-BCD的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】【試題分析】（1）先借助題設證明OE∥AP，再運用線面平行的判定定理推證PA∥平面BDE；（2）先運用線面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC，再依據面面垂直的判定定理證明平面PAC⊥平面BDE；（3）題借助題設中線面角的定義求出三棱錐的高，再運用三棱錐的體積公式求解：

證明：（I）∵O是AC的中點，E是PC的中點，

∴OE∥AP，

又∵OE平面BDE，PA平面BDE．

∴PA∥平面BDE．

（II）∵PO⊥底面ABCD，PO⊥BD，

又∵AC⊥BD，且AC∩PO=O

∴BD⊥平面PAC，

而BD平面BDE，

∴平面PAC⊥平面BDE.

（III）∵ PB與底面所成的角為600,且PO⊥底面ABCD，∴∠PBO=600,

∵ AB=2a, ∴BO= a PO= a,

∴E到面BCD的距離= a

∴三棱錐E-BCD的體積V=.