Question

【題目】如圖，菱形與正三角形的邊長均為2，它們所在平面互相垂直，平面，平面．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求二面角的大小．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）由菱形的性質可得，由線面垂直的性質可得，從而可得平面，再由面面垂直的判定定理可得結果；（2）設，以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，利用向量垂直數量積為零列方程求得平面的法向量，結合平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

（1）∵菱形，∴，

∵平面，∴，

∵，∴平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）設，以為原點，為軸，為軸，

過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

設平面的法向量，

則，取，得，

平面的法向量，

設二面角的大小為，

則，

∴．

∴二面角的大小為．