Question

設數列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c為實數，且c≠0．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設a=

1

2

，c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）整理a_n+1=ca_n+1-c得a_n+1-1=c（a_n-1），進而判斷出當a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數列，進而根據等比數列的性質求得其通項公式，當a=1時，也成立，進而可得答案．
（2）根據（1）中的a_n，求得b_n，進而根據錯位相減法求得數列的前n項的和．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1=ca_n+1-c，a_n+1-1=c（a_n-1），
∴當a₁=a≠1時，{a_n-1}是首項為a-1，公比為c的等比數列
∴a_n-1=（a-1）c^n-1
當a=1時，a_n=1仍滿足上式．
∴數列{a_n-1}的通項公式為a_n=（a-1）c^n-1+1（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（1）得，當a=

1

2

，c=

1

2

時，
bn=n(1-an)=n{1-[1-(

1

2

)n]}=n(

1

2

)n．
∴Sn=b1+b2++bn=

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n．

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3++n×(

1

2

)n+1．
兩式作差得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1．
Sn=1+

1

2

+(

1

2

)2++(

1

2

)n-1-n×(

1

2

)n
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n×(

1

2

)n=2×(1-

1

2n

)-

n

2n

．
∴Sn=2-

n+2

2n

．

點評：本題主要考查了數列的遞推式，等比數列的通項公式和用錯位相減法求和．考查了學生綜合分析問題的能力．