Question

【題目】已知函數f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a為常數）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若對任意的a∈（1， ），都存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：函數f（x）=lnx+x2﹣2ax+1（a為常數）

f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，

①當a≤0時，f′（x）＞0成立，

若f′（x）≥0，則2x2﹣2ax+10≥0，△=4a2﹣8，

當﹣ 時，f′（x）≥0恒成立，

所以當a 時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

②當a 時，

∵2x2﹣2ax+10≥0，x 或0

2x2﹣2ax+10＜0， ，

∴f（x）在（0， ），（ ）上單調遞增，

在（ ， ）單調遞減

（2）

∵a∈（1， ）， +2x﹣2a＞0，

∴f′（x）＞0，f（x）在（0，1]單調遞增，

f（x）max=f（1）=2﹣2a，

存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，

即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），

∵任意的a∈（1， ），

∴a﹣a2＜0，

即m＞ 恒成立，

令g（a）= ，

∵m＞ 恒成立 最后化簡為g′（a）= =

∵任意的a∈（1， ），

＞0，

∴g（a）= ，a∈（1， ）是增函數．

∴g（x）＜g（ ）= + =

∴實數m的取值范圍m≥

【解析】（1）求解f′（x）= +2x﹣2a= ，x＞0，判斷2x2﹣2ax+10的符號，分類得出①當a≤0時，f′（x）＞0成立，當﹣ 時，f′（x）≥0恒成立，
即可得出當a 時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，②當a 時，求解不等式2x2﹣2ax+10≥0，2x2﹣2ax+10＜0，得出f（x）在（0， ），（ ）上單調遞增，在（ ， ）單調遞減，（2）f（x）max=f（1）=2﹣2a，存在x0∈（0，1]使得不等式f（x0）+lna＞m（a﹣a2）成立，即2﹣2a+lna＞m（a﹣a2），m＞ 恒成立，構造函數g（a）= ，利用導數求解即可轉化為最值即可判斷．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．