Question

已知雙曲線的離心率為e，右頂點為A，左、右焦點分別為F₁、F₂，點E為右準線上的動點，∠AEF₂的最大值為θ．
（1）若雙曲線的左焦點為F₁（-4，0），一條漸近線的方程為3x-2y=0，求雙曲線的方程；
（2）求sinθ（用e表示）；
（3）如圖，如果直線l與雙曲線的交點為P、Q，與兩條漸近線的交點為P'、Q'，O為坐標原點，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）方法1：設雙曲線的方程為，其漸近線的方程為．因為一條漸近線的方程是，所以，由此能求出雙曲線的方程．
方法2：雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，設雙曲線的方程為．由焦點是（-4，0），得4λ+9λ=16，由此能求出雙曲線的方程．
（2）設經過點A、F₂的圓C與準線相切于點M，交EF₂于點N．由∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂，知∠AMF₂=θ．由A（a，0），F₂（c，0），知，由此能求出sinθ（用e表示）．
（3）方法1：當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=mx+n，代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為G（α，β），則．由此能證明．
方法2：當直線l的斜率不存在或為零時，即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點，所以|PP'|=|QQ'|．設l：y=kx+m（k≠0）．設PQ的中點為G（x，y），P'Q'的中點為G'（x'，y'），則由點差法可得，且，由此能夠證明．
解答：解：（1）方法1 
 雙曲線的左焦點為F₁（-4，0），
設雙曲線的方程為，
則其漸近線的方程為，即．
又∵一條漸近線的方程是，
∴，得，．
故雙曲線的方程為．
方法2
∵雙曲線的一條漸近線是3x-2y=0，即，
∴可設雙曲線的方程為．
∵焦點是（-4，0），
∴由得4λ+9λ=16，
∴，
∴雙曲線的方程為．
（2）設經過點A、F₂的圓C與準線相切于點M，交EF₂于點N．
∵∠AMF₂=∠ANF₂≥∠AEF₂（當E與M重合時取“=”），
∴∠AMF₂=θ．
∵A（a，0），F₂（c，0），
∴，
又∵，
∴圓C的半徑．
由正弦定理得，
∴．
（3）證明：方法1 
 當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=mx+n，
代入中得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²（n²+b²）=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為G（α，β），
則．
同理，將y=mx+n代入漸近線方程中，
得（b²-a²m²）x²-2a²mnx-a²n²=0．
設P'（x'₁，y'₁），Q'（x'₂，y'₂），
線段P'Q'的中點為G'（α'，β'），
則=，
∴α=α'，即線段PQ與線段P'Q'有共同的中點．
當直線l的斜率不存在時，即直線l垂直于x軸時，
由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點
．∴，即．
方法2  
當直線l的斜率不存在或為零時，
即直線l垂直于x軸或垂直于y軸時，
由對稱性可知線段PQ與線段P'Q'有共同的中點，
∴|PP'|=|QQ'|．
當直線l的斜率存在且不為零時，可設l：y=kx+m（k≠0）．
設PQ的中點為G（x，y），P'Q'的中點為G'（x'，y'），
則由點差法可得，
且，
∴點G、G'在直線l'：，
即上．
又∵點G、G'在直線l：y=kx+m上，
∴點G、G'同為直線l與l'的交點．
故點G、G'重合，
∴，
即．
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現了合理消元，設而不解的代數變形的思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．