Question

如圖所示，在多面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，BA⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC＝1，AB＝ED＝EF＝2，AD＝DG＝4.
 
(1)求證：BE⊥平面DEFG；
(2)求證：BF∥平面ACGD；
(3)求二面角F－BC－A的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

(1)證明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.
又∵AB＝DE，∴四邊形ADEB為平行四邊形，∴BE∥AD.
∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG.
(2)證明：設DG的中點為M，聯結AM，MF，則DM＝DG＝2，

∵EF＝2，EF∥DG，∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴MF＝DE且MF∥DE，由(1)知，四邊形ADEB為平行四邊形，∴AB＝DE且AB∥DE，∴AB＝MF且AB∥MF，
∴四邊形ABFM是平行四邊形，
即BF∥AM，又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.

(3)由已知，AD，DE，DG兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0，0，4)，B(2，0，4)，C(0，1，4)，F(2，2，0)，
故＝(0，2，－4)，＝(－2，1，0)．
設平面FBC的法向量為n₁＝(x，y，z)，則
令z＝1，則n₁＝(1，2，1)，
而平面ABC的法向量可為n₂＝＝(0，0，4)，
則cos〈n₁，n₂〉＝，
由圖形可知，二面角F－BC－A的余弦值為－