Question

（1）用坐標法證明余弦定理：已知在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，求證：a²=b²+c²-2bccosA；
（2）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知2b=a+c，求角B的最大值；
（3）如果三個正實數a，b，c滿足a²=b²+c²-2bccosA，A∈（0，π），那么是否存在以a，b，c為三邊的三角形？請說明理由．

Answer 1

解：（1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0）
∴
∴a²=（c-bcosA）²+（bsinA）²=b²+c²-2bccosA；

（2）由2b=a+c，得到b=，
則cosB==
=≥=，
由B∈（0，180°），cosB為減函數，
所以內角B的最大值為60°．
（3）不妨假設不存在以a，b，c為三邊的三角形，即 c+b＜a
∴c²+b²+2cb＜b²+c²-2bccosA
∴cosA＜-1
∵A∈（0，π），
∴矛盾
故假設不成立，即存在以a，b，c為三邊的三角形
分析：（1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AB的垂線為y軸，建立平面直角坐標系，則C（bcosA，bsinA），B（c，0），由此可證余弦定理；
（2）由已知的等式表示出b，然后利用余弦定理表示出cosB，把表示的b代入利用基本不等式即可求出cosB的最大值，由B的范圍及余弦函數在此范圍內為減函數，即可得到角B的最大值．
（3）用反證法證明．假設不存在以a，b，c為三邊的三角形，即 c+b＜a，兩邊平方，再代入條件，引出矛盾，從而得證．
點評：本題以三角形為載體，考查學生靈活運用余弦定理化簡求值，掌握余弦函數的圖象和性質，是一道中檔題．