Question

已知點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（1）若

AC

⊥

BC

，求sin2α的值；
（2）若|

OA

+

OC

|=

7

，求

OB

與

OC

的夾角．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量的數量積公式，兩個向量垂直的性質，得到cosα+sinα=

1

2

，平方可以求得sin2α的值．
（2）由 |

OA

+

OC

|=

7

 得 （2+cosα）²+sin²α=7，求得 cosα=

1

2

，再根據α的范圍求出α的值，從而求得

OB

與

OC

的夾角．

解答：解：（1）

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，∵

AC

⊥

BC

，∴

AC

•

BC

=0，
∴cosα+sinα=

1

2

，∴(cosα+sinα)2=

1

4

，∴2sinα•cosα=-

3

4

，∴sin2α=-

3

4

．
（2）由 |

OA

+

OC

|=

7

 得  （2+cosα）²+sin²α=7，∴cosα=

1

2

，
又α∈（0，π），∴α=∠AOC=

π

3

，又∠AOB=

π

2

，∴

OB

與

OC

的夾角為

π

6

．

點評：本題考查三角函數的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數量積公式，兩個向量垂直的性質，求向量的模的方法，根據三角函數的值求角，求得 cosα=

1

2

，是解題的關鍵．