Question

在直角坐標系xOy中，已知點A（-2，0），B (0，2

3

)，C（2cosθ，sinθ），其中θ∈[0，

π

2

]．
（1）若

AB

∥

OC

，求tanθ的值；
（2）設點D（1，0），求

AC

 •  

BD

的最大值；
（3）設點E（a，0），a∈R，將

OC

 •  

CE

表示成θ的函數，記其最小值為f（a），求f（a）的表達式，并求f（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中A（-2，0），B (0，2

3

)，C（2cosθ，sinθ），我們可以計算出向量

AB

，

OC

的坐標，進而由

AB

∥

OC

，我們可以構造一個三角方程，利用同角三角函數關系，即可求出tanθ的值；
（2）由D的坐標，我們可以進而求出向量

AC

，

BD

的坐標，根據向量數量積的運算公式，我們可以給出

AC

 •  

BD

的表達式，然后根據余弦型函數的性質，及θ∈[0，

π

2

]求出其最大值．
（3）由點E的坐標，我們可以求出向量

OC

，

CE

的坐標，根據向量數量積的運算公式，我們可以將

OC

 •  

CE

表示成θ的函數，利用換元法，將其轉化為二次函數在定區間上的最值問題后，即可得到答案．

解答：解：（1）由已知，得

AB

=(2，2

3

)，

OC

=(2cosθ，sinθ)，…（2分）
因為

AB

∥

OC

，所以4

3

cosθ=2sinθ，tanθ=2

3

．…（3分）
（2）由已知，

AC

=(2cosθ+2，sinθ)，

BD

=(1，-2

3

)，

AC

 •  

BD

=2cosθ-2

3

sinθ+2=4cos(θ+

π

3

)+2…（5分）
又θ+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，…（6分）
所以，當θ=0時，

AC

 •  

BD

取得最大值，最大值為4．…（8分）
（3）由已知，

CE

=(a-2cosθ，-sinθ)，
所以，

OC

•

CE

=2acosθ-4cos2θ-sin2θ=-3cos2θ+2acosθ-1，
設t=cosθ，

OC

•

CE

=-3t2+2at-1，t∈[0，1]…（10分）
當

a

3

＜

1

2

，即a＜

3

2

時，f（a）=2a-4，
當

a

3

≥

1

2

，即a≥

3

2

時，f（a）=-1，
所以，f(a)=

2a-4，a＜ 3 2 -1 a≥ 3 2

…（12分）
因為當a＜

3

2

時，f(a)＜f(

3

2

)=-1，當a≥

3

2

時，f（a）=-1，
所以f（a）的最大值為-1．…（14分）

點評：本題考查的知識點是三角函數中的恒等變換應用，平面向量的綜合題，熟練掌握平面向量平行的充要條件，平面向量數量積的運算公式，是解答本題的關鍵．