Question

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣2|﹣t，t∈R，g（x）＝|x+3|．

（1）x∈R，有f（x）≥g（x），求實數t的取值范圍；

（2）若不等式f（x）≤0的解集為[1，3]，正數a、b滿足ab﹣2a﹣b＝2t﹣2，求a+2b的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由條件可知,當x∈R時,恒成立,因此只需,然后利用絕對值三角不等式可求出的小值即可.

(2)根據不等式f(x)≤0的解集為[1,3],求出t的值,然后將t代入中,得到關于,的方程,再利用基本不等式求出的最小值即可.

解:(1)因為x∈R,有f(x)≥g(x),所以在x∈R時恒成立,

即在x∈R時恒成立,所以只需

因為,所以,

所以,

所以t的取值范圍為.

(2)由,得,

因為不等式的解集為,,所以,解得.

將帶入中,得,所以,

所以,當且僅當時取等號,

所以的最小值為9.