Question

已知函數f(x)=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）設x∈[-

π

3

， 

π

3

]，求f（x）的值域和單調遞增區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據二倍角公式和兩角和與差的公式進行化簡，再由T=

2π

w

可求得最小正周期．
（Ⅱ）先根據x的范圍求得2x+

π

3

的范圍，再結合正弦函數的性質可得到函數f（x）的值域，然后令

π

2

≤2x+

π

3

≤π求得x的范圍，即可得到函數f（x）在x∈[-

π

3

， 

π

3

]上的單調增區間．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)-2sinxcosx
=-

3

cos2x-sin2x=-2sin(2x+

π

3

)．
∴f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．∴f（x）的值域為[-2， 

3

]．
∵當y=sin(2x+

π

3

)遞減時，f（x）遞增
．∴

π

2

≤2x+

π

3

≤π，即

π

12

≤x≤

π

3

．
故f（x）的遞增區間為[

π

12

，

π

3

]．

點評：本題主要考查二倍角公式和兩角和與差的公式的應用，考查對正弦函數的單調性、周期性的應用．高考對三角函數的考查以基礎題為主，平時要注意對基礎知識的積累．