Question

非空集合M關于運算⊕滿足：（1）對任意的a，b∈M，都有a⊕b∈M；（2）存在e∈M，使得對一切a∈M，都有a⊕e=e⊕a=a，則稱M關于運算⊕為“理想集”．現給出下列集合與運算：
①M={非負整數}，⊕為整數的加法；②M={偶數}，⊕為整數的乘法；
③M={二次三項式}，⊕為多項式的加法；④M={平面向量}，⊕為平面向量的加法；
其中M關于運算⊕為“理想集”的是________．（只需填出相應的序號）

Answer 1

解：對于①M={非負整數}，⊕為整數的加法，由于任意兩個整數的和仍是整數，M中存在0，滿足
a+0=0+a=a，故滿足“理想集”的定義．
對于②M={偶數}，⊕為整數的乘法，由于任意兩個偶數的積仍是偶數，故滿足條件（1），但不存在偶數e，使得
一個偶數與e的積仍是此偶數，故不滿足條件（2），故不滿足“理想集”的定義．
對于③M={二次三項式}，⊕為多項式的加法，由于兩個二次三項式的和不一定是二次三項式，如 ax²+bx+c
與-ax²-bx+c 的和為2c，不滿足條件（1），故不滿足“理想集”的定義．
對于④M={平面向量}，⊕為平面向量的加法，由于任意兩個平面向量的和仍是平面向量，M 中存在，
使得 成立，故滿足“理想集”的定義．
故答案為：①④．
分析：逐一檢驗給出的集合與運算是否滿足“理想集”的定義中的兩個條件，把滿足“理想集”的定義的找出來．
點評：本題考查“理想集”的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．