Question

【題目】如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，點E是BC邊的中點，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，連接AE，AC，DE，得到如圖2所示的幾何體.

若AD＝1，二面角CABD的平面角的正切值為，求二面角BADE的余弦值.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據已知可得平面，，進而有AB⊥平面ADC，得出二面角CABD的平面角為∠CAD，求出，以D為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，確定點坐標，求出平面BAD的法向量坐標，利用平面BAD的一個法向量＝（0，1，0），由空間向量面面角公式，即可求解.

平面ABD⊥平面BCD，平面ABD平面BCD，

BD⊥DC，平面，平面，

平面，，

AB⊥平面ADC，，

所以二面角CABD的平面角為∠CAD.

又DC⊥平面ABD，AD平面ABD，所以DC⊥AD.

依題意tan∠CAD＝.

因為AD＝1，所以CD＝.

設AB＝x（x＞0），則BD＝.

依題意△ABD∽△DCB，所以，

即，解得x＝，

故AB＝，BD＝，BC＝

以D為坐標原點，射線DB，DC分別為x軸，y軸的正半軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，

則D（0，0，0），B（，0，0），C（0，，0），

所以.

平面BAD的一個法向量＝（0，1，0）.

設平面ADE的法向量為＝（x，y，z），

由得,

令x＝，得y＝－，z＝－，

所以為平面ADE的一個法向量.

所以.

由圖可知二面角BADE的平面角為銳角，

所以二面角BADE的余弦值為.