Question

（2010•武漢模擬）如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的邊長為2a，側棱AA₁=2a，M、N分別為AA₁、BC中點
（1）求四面體C₁-MNB₁體積；
（2）求直線MC₁與平面MNB₁所成角正弦值．

Answer 1

分析：（1）對于四面體求體積，可以也即三棱錐求體積，可把其中一個面作為底面，與底面相對的頂點作為三棱錐的頂點，用

1

3

的底面積乘高即可．在本題中，因為三角形B₁C₁N的面積比較好求，且M點到平面B₁C₁N的距離為2a，所以把M點作為三棱錐的頂點來求體積．
（2）欲求直線MC₁與平面MNB₁所成角正弦值，先找到該角，直線與平面所成角，即直線與它在平面上的射影所成角，過直線MC₁上點M作平面MNB₁的垂線，則垂線段即為M到平面的距離，直線MC₁與平面MNB₁所成角正弦值為垂線段與線段MC₁的比．

解答：解：（1）在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁∥BC₁
從而可得VN-A1B1C1=

1

3

(

1

2

•2a•2a•sin60°)•2a=

2 3

3

a3．
（2）對于△MNB₁，B₁N=B₁M=

5

a，MN=2a
則△MNB₁面積S=

1

2

•2a•2a=2a²
 設C₁到平面MNB₁之距為d，則由VC1-MNB1=VN-B1C1N知：

1

3

(S△MNB1)•d=

2 3

3

a，∴

1

3

•2a2•d=

2 3

3

a2得到d=

3

a，
設MC₁與平面MNB₁所成角為θ，
則sinθ=

d

MC1

=

3 a

5 a

=

15

5

．

點評：本題主要考查了三棱錐體積的求法，以及直線與平面所成角的求法，求體積時注意等體積法的應用，求線面角的關鍵在與找到線面角的平面角．